А.Г. Барабашев
Методологический анализ современных представлений о становлении математики Нового времени является важнейшим составным элементом общего теоретического рассмотрения возникновения науки Нового времени как сложного комплекса новых идей, методов исследования, закрепленных в деятельности научного сообщества, в условиях изменения его структуры и социального статуса. Однако применительно к математике высказываемые общие соображения требуют не только детализации и уточнения, но зачастую нуждаются и в изменении. Прежде всего это обусловлено спецификой математики по отношению к естествознанию в целом. К Новому времени история математики насчитывала уже более двух тысячелетий; математика подошла к рубежу Нового времени с колоссальным багажом традиций, которые так или иначе были усвоены новым поколением исследователей. Поэтому методологический анализ становления математики Нового времени не только призван внести вклад в формирование единого образа процесса становления новой науки, но и обладает самостоятельной ценностью, открывает как бы новое измерение в исследовании развития науки. Проследим в основных чертах, что нового вносит исследование становления математики Нового времени в представления о развитии науки.
Понятие «революция» давно и прочно утвердилось в работах, посвященных философско-методологическому анализу развития науки, а также в историко-научных исследованиях. В первую очередь оно было применено к естествознанию Нового времени, само возникновение которого явилось одной из крупнейших революций в развитии науки. Однако общее понимание научной революции столкнулось с серьезными затруднениями при попытках его распространения на развитие математики.
Одно из наиболее ясных возражений против перенесения понятия революции на развитие математики было дано М. Кроу
(11, 12). Он выделил два типа развития научного знания: трансформационное, с отбрасыванием предыдущих концепций, и формационное, при котором новые области формируются без отбрасывания предшествующих теорий. Именно второй тип развития –
и здесь М. Кроу ссылается на мнения Ж. Фурье, Г. Ганкеля и
К. Трусделла[1] – свойствен математике. В математике не бывает революций: революционные изменения могут происходить только в «математических обозначениях, символике, метаматематике (например, общих представлениях о математике), методологии (например, в отношении стандартов строгости) и, возможно, даже в историографии математики» (12, с. 165).
Тем не менее точка зрения, что в математике также происходят революции, находит своих многочисленных последователей. Так, например, считает Р. Уайлдер в своей монографии «Математика как культурная система» (35). Представляя математику как совокупность культурных элементов (под которыми Уайлдер понимает набор математических убеждений, инструментов, ритуалов в широком смысле этого слова и т.п., принадлежащих тем или иным группам людей, связанных, например, принадлежностью к некоторому сообществу или географической близостью), Уайлдер определяет революцию как качественное преобразование этой системы элементов. Таковы же позиции Д. Даубена (долгое время – научный редактор журнала «Historia mathematica»)[2] и известного историка и философа науки И.Б. Коэна (13, 10). Так,Д. Даубен считает, что М. Кроу не прав, ибо он слишком узко истолковывает понятие научной революции: в действительности (и тут Даубен ссылается на Б. Фонтенеля, который еще в 1727 г. назвал открытие инфинитезимального исчисления Ньютоном и Лейбницем революцией в математике) это понятие традиционно относилось к тем историческим эпизодам в развитии математики, когда основной массив прежних достижений, не обязательно будучи отброшенным, получал радикально новое истолкование в свете новых концепций и представлений. В свою очередь И.Б. Коэн выделяет в революции в математике два аспекта: собственно математический и прикладной, а также отделяет революции в математике от революций в естествознании (10, с. 162).
Эти диаметрально противоположные точки зрения относительно существования революций в математике сталкиваются в ограниченном пространстве исторических этапов. Можно выделить три таких этапа: 1) возникновение античной теоретической математики; 2) становление математики Нового времени; 3) развитие современной математики, которое все более расценивается как коренное преобразование всей математики, ее целей, методов, социальных условий ее существования. Исследование становле-
ния математики Нового времени обладает рядом преимуществ, облегчающих проведение философско-методологического анализа. Во‑первых, к этим преимуществам относится наличие большого количества историко-математического материала (которого значительно больше, нежели для эпохи становления античной математики) и его определенность (в отличие от «неустоявшихся» еще результатов современной математики). Во‑вторых, широкий спектр общих философских концепций развития науки в полной мере использует период XVII – начала XVIII в. В то же время многие философские концепции развития науки ничего не говорят об эпохе Античности, вынося ее как бы «за скобки» своих построений. Поэтому проблему революций в математике во многих отношениях удобнее всего исследовать на материале становления математики Нового времени.
Вне зависимости от того, принимается ли это становление как революционное преобразование математики или как ее перестройка без революционного сдвига во всем массиве математического знания, в среде историков математики сложился достаточно ясный и устойчивый образ новой математики, выделяющий те ее черты, которые задают определенность по отношению к математике прежних времен. Коротко обрисуем этот образ, использовав две книги (2; 14), вышедшие в свет одновременно, совершенно независимо друг от друга и представляющие разные географические регионы и различные научные школы. В книге Д. Дабби (14) характерными чертами новой математики названы: систематическое использование алгебраического аппарата; открытие новых геометрий (и в первую очередь – аналитической геометрии); изобретение логарифмов; и, наконец, центральный момент – открытие дифференциального исчисления. В отечественной трехтомной «Истории математики» отражены по существу те же самые пункты: «Создание аналитической геометрии и анализа произвело в математике подлинную революцию. Оно поставило в центр исследований новые объекты и методы, которые лишь в самом неразвитом виде существовали в прежней математике. Отныне математика не ограничивается уже изучением постоянных величин и чисел и во все возрастающей мере переходит к исследованию переменных величин и функций как аналогов механического движения и любого количественного изменения вообще, а для этого – к рассмотрению бесконечно малых и бесконечно больших величин, применение которых к решению конкретных вопросов почти прекратилось со времени Архимеда» (2, с. 16).
Высокая стабильность в выделении основных черт математики Нового времени – например, абсолютно те же характеристики математики Нового времени приводятся в брошюре А.П. Юшкевича, вышедшей в 1985 г. (7), – покоится на прочном эмпирическом фундаменте историко-математических исследований. Однако методологическое обоснование этого фундамента зачастую сводится к популяризации исторических фактов вместо того, чтобы осветить причины и закономерности процесса становления математики Нового времени. Но без понимания этих причин и закономерностей любое исторически выясненное различие между математикой Нового времени и предшествующих эпох является принципиально недостаточным для вынесения заключения о том, являлось ли возникновение математики Нового времени революцией в развитии математики. Только ясная методологическая позиция по вопросу о том, что такое революция в математике, каковы ее движущие силы и основные черты, способна превратить подкрепленное отрывочными соображениями мнение в теоретическую концепцию.
Наиболее простым способом ответа на вопрос, была ли революция в математике на рубеже Нового времени, является уклонение от рассмотрения этого вопроса как носящего только терминологический характер. При этом чаще всего декларируется отказ от построения концепций возникновения науки Нового времени вообще – отказ, демонстрирующий позитивистские умонастроения исследователя. Так, Д. Кларк (22), активно привлекающий материал истории математики при исследовании становления науки Нового времени, в эпилоге своей статьи возражает против создания обобщающих схем исторического развития науки, аргументируя это тем, что нельзя случайные совпадения принимать за моменты действия некоторых общих законов истории. «Я думаю, – пишет он, – что Копернику (равно как и всем нам) повезло, что Птолемей принял солнечный, а не лунный календарный год. Каждый знает, какой удачей было для Галилея (впрочем, как и для нас) вовремя узнать о существовании подзорной трубы. И уже совсем счастлив был Ньютон (и это наша удача тоже), что Гук написал ему известное пригласительное письмо осенью 1679 г. Аналогичным образом будут счастливы все, и в особенности те сверхчувствительные ученые, которые делают то, что делают (что будет вскрыто в свое время), и являются тем, кем они являются, если только историки науки не забудут, что музой истории пока еще является Клио, а не Прокруст» (22, с. 79). Однако в действительности вся работа Кларка посвящена выяснению моментов новизны в сделанном Коперником, Галилеем и Ньютоном[3] – выяснению, опирающемуся на теоретическое представление о том, что такое традиционное, новое, старое и заимствованное в научной деятельности (общие формулировки этих черт научной деятельности Кларк дает в начале статьи). Теоретическая схема здесь присутствует, она является предпосылкой разбора фактического материала.
Концентрируясь на возникновении новой математики, позицию устранения от общих концепций становления математики на словах поддерживает издатель математических работ Ньютона Д. Уайтсайд в своей статье «Ньютон-математик» (34) – статье, подытоживающей многолетнюю работу по изучению математического творчества Ньютона. Уайтсайд пишет, что основной своей задачей считает не создание исторических гипотез, а ретроспекцию, вчувствование в интеллектуальный мир Ньютона (34, с. 109). Тем не менее Уайтсайд выдвигает определенную историческую гипотезу, фиксирующую момент возникновения математики Нового времени и роль Ньютона в этом процессе. Он считает, что Ньютону был свойствен интерес к занятиям математикой безотносительно к каким бы то ни было естественно-научным замыслам: власть математики как самодостаточного объекта исследований распространялась на Ньютона так же, как на Харди двумя столетиями позднее. «Здесь мы имеем дело с “чистым” математиком в старом значении этого слова, который целиком укрылся в Кембридже как замке из слоновой кости и для своего собственного удовольствия доказывает теоремы, свойства и алгоритмы, исходя из представлений об элегантности конструкций» (34, с. 120–121). Ньютон как основоположник новой математики, по мнению Уайтсайда, в первую очередь заложил основы современного понимания математики как науки, изучающей абстрактные модели сами по себе. Соответственно, Д. Уайтсайд акцентирует внимание на такой модели возникновения математики Нового времени, которая учитывает прежде всего изменение методологических представлений о сущности математического знания, его соотнесенности с другими науками и реальностью[4].
Конечно, не все исследователи хотя бы на словах (а избежать реального определения своей позиции по вопросу о причинах и основных чертах становления науки Нового времени они не в состоянии) отказываются от построения концепций возникновения науки (и математики) Нового времени. Особенно это относится к историческому направлению в философии науки, которое, отбросив всяческую «концептуальную скромность», генерирует такие концепции в большом количестве, причем зачастую лишь поверхностно используя историко-научный материал. С концептуального анализа коперниканской революции начинал Т. Кун, и к этому же периоду развития науки он специально вернулся два десятилетия спустя (23; 24). Этим периодом в развитии науки интересовались П. Фейерабенд, И. Лакатос, Н. Хэнсон и другие известные западные философы науки исторического направления. Однако чтобы более глубоко ответить на вопрос, была ли и в чем заключалась революция при становлении математики Нового времени, необходимо обратиться не к этим отдельно взятым концепциям, а к анализу противостояния экстернализма и крайнего интернализма (например, позитивистской историографии науки) в целом.
[1] Интересны в связи с этим слова К. Трусделла, которые приводит в своей статье М. Кроу: «Покуда воображение, фантазия и изобретательность являются душой математического исследования, в математике никогда не будет революций» (цит. по: 12, с. 165).
[2] Historia mathematica. – N.Y.
[3] Практически все современные философско-методологические и историко-научные исследования, посвященные изучению проблемы возникновения математики Нового времени (да и науки Нового времени в целом), так или иначе обращаются к творчеству И. Ньютона. Издание усилиями Д. Уайтсайда восьмитомника математических работ Ньютона, обнародование (причем в различных вариантах) его многочисленных естественно-научных работ, писем и т.д. породило вторичный поток историко-научных исследований, вносящих постоянные коррективы в наши представления о становлении математики Нового времени. Поэтому современные философско-методологические реконструкции этого процесса также в первую очередь затрагивают (а зачастую и концентрируются) на Ньютоне, а не на других, может быть, не менее известных исследователях (Г.В. Лейбниц, И. и Я. Бернулли, Х. Гюйгенс и др.). К Ньютону мы и будем чаще всего обращаться при рассмотрении современных концепций возникновения математики Нового времени.
[4] Такого же взгляда, как Уайтсайд, придерживается и И.Б. Коэн в кни-
ге (9). В свою очередь, с Коэном спорит Г. Герлак в рецензии на эту книгу И.Б. Коэна (16).
|
